Сеть учителей и работников образования | Социальная сеть учителей
ГлавнаяСтатьиШколаГеометрияПифагоровы тройки

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой.Пожалуй, даже те, кто распрощался с математикой, сохраняют воспоминание о " пифагоровых штанах".  Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. Она применяется и в геометрии на каждом шагу, и нашла широкое применение в практике и обыденной жизни.

  Пифагоровы тройки

Исследовательская работа

Воробьёва Дмитрия Александровича и Фунтова Петра Александровича

Адрес электронной почты kapaischool@mail.ru

МОУ«Октябрьская ООШ» Торопецкий район Тверская область

7класс

Руководитель Зинкевич Лидия Викторовна –учитель математики.

Цель исследования:показать, что существует бесконечно много пифагоровых троек.

Объект исследования: натуральные числа.

Задачи исследования:1. Теорема Пифагора- фундаментальное геометрическое утверждение.
2. Использование пропорций египетского треугольника.
3. Свойства пифагоровой тройки(3,4,5).
4. Нахождение других пифагоровых троек.
5. Пифагор и его последователи.

6.Практическое применение теоремы Пифагора.

Методы исследования:1. Изучение научно- популярной литературы.
2. Использование Интернет ресурсов.

Актуальность

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни распрощался с математикой, сохранят воспоминание о «пифагоровых штанах» –квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах

 Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость.В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

 Она применяется и  в геометрии на каждом шагу, и нашла широкое применение в практике и обыденной жизни.

Основная часть

Объектом нашего рассмотрения являются числа Пифагора, называемые также пифагоровыми тройками-тройки (x,y, z) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению Пифагора Х22=Z2

 Таким образом, в основе нашей, в первую очередь арифметической, дискуссии лежит теорема Пифагора — фундаментальное геометрическое утверждение, которое запечатлелось в мозгу миллионов, если не миллиардов людей: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Египетский треугольник

Так, во тьму веков уходит история прямоугольного треугольника со сторонами (3, 4,5). По одной из версий, в Древнем Египте для построения прямого угла использовали разделенный на 12 равных частей замкнутый шнур, натягивая его между тремя кольями так, чтобы заключенные между кольями части шнура находились в соотношении 3:4:5. Видимо, с тех пор треугольник со сторонами (3,4,5)называют египетским.

Архитекторы и строители тысячи лет использовали эти пропорции при возведении храмов в Египте, Вавилоне, Китае и других странах. В одном из выдающихся памятников мировой архитектуры – пирамиде Хеопса, гробнице жившего в 3-ем тысячелетии  до н.э. египетского фараона, царская комната устроена так, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю меньшей боковой стены, линией пересечения пола большой боковой стеной и диагональю всей комнаты, имеет размеры, находящиеся в отношении 3:4:5. Пропорции египетского треугольника находят и в размерах тесаных плит пирамиды другого египетского фараона, Хефрена, брата Хеопса.

Геометрическая модель пирамиды Хеопса.

Нахождение других троек. Последователи Пифагора.

  Конечно, тройка (3,4,5) не была единственной пифагоровой тройкой, известной древним. В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая примерно 1500 г. до н.э.; при ее изучении оказалось, что она содержит список пифагоровых троек.В этом списке, помимо тройки (3,4,5), имеется, например, и другая тройка (4961, 6480, 8161). Это показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; таким образом, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора и владели каким-то способом нахождения пифагоровых троек.

 Так, Пифагор, используя тождество

 (2n+1)2+ ( 2n+2n)2=(2n2+2n+1)2, указал формулы, описывающие все «священные» тройки, содержащие два последовательных числа, одно из которых – гипотенуза.

 Используя тождество (m2-1)2 +(2m)2=(m2+1)2, Платон получил формулы, позволяющие описать, при четных m, все пифагоровы тройки, в которых гипотенуза и один из катетов – последовательные целые числа.

 Евклиди Диофант, используя тождество (m2-n2)2 +(2mn)2=(m2+n2)2  для взаимно простых чисел m>n, рассмотрели формулы, которые описывали точно один раз каждую пифагорову тройку(x, y,z)с условием НОД (x, y)≤2.

 Примерыпи фагоровых троек

 

  (3, 4, 5)  (5, 12, 13)  (7, 24, 25)  (9, 40, 41)  (11, 60, 61)

  (15, 8, 17)  (21, 20, 29)  (27, 36, 45)  (33, 56, 65)  (39, 80,89) (35, 12, 37)  (45, 28,53)  (55, 48, 73)  (65, 72, 97)  (75,100,125)

(63,16, 65)  (77, 36, 85)  (91, 60, 109) (105,88,137)  (119,120,169) 

(99,20, 101)  (11, 44, 125)  (135, 72, 153)  (153, 104, 185)  (171, 140, 221)...

(Деза Е.И. Числа Пифагора. Эл.курс Журнал «Математика в школе» )Практическое применение

  Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: «Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.»

Вывод:

 Существует бесконечное множество пифагоровых троек. Задача нахождения пифагоровых троек-записать квадрат в виде суммы двух квадратов- выполнена.

 Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач различного практического характера, расширении кругозора учащихся

ЛИТЕРАТУРА

 Александров А.Д., Вернер, А.Л, Рыжик В.И. Геометрия 8-9 –М.: Просвещение,1991г. 125с.

 АтанасянЛ.С., Бутузов В.Ф, Глазков Ю.А, “Геометрия 7-9” М.: Просвещение, 2012. 335с.

 Погорелов, А.В.Геометрия: учебник для 7-11 классов.- М.: Просвещение,1991 г. 383с.

 Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика,1989 г.

 “Математика 5-11классы. Практикум”,2002 ,352с.

 Газета»Математика" приложение к газете «1 сентября», «Последам Пифагора»,№ 2, 2002.

 Деза Е.И. Числа Пифагора. Эл. Курс. Журнал «Математика в школе» №10 2009,40-50с., №1 – 2010,45с.

 Глейзер Г.И.История математики в школе.М.,1964 ,128с.

 Еленьский Ш., Последам Пифагора.М.,1961

 СкопецЗ.А. Геометрические миниатюры. М., 1990,64с.

Комментарии (3)