Сеть учителей и работников образования | Социальная сеть учителей
ГлавнаяСтатьиШколаФизикаКомпьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах
 

Компьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах

Компьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах

 

 В настоящей статье подробно разобрано моделирование движения тела, брошенного горизонтально, в электронных таблицах, а  также, для углубления понимания учащихся, рассматривается более сложный случай — когда два тела брошены навстречу друг другу горизонтально. Для последней приведенной ситуации разобраны все возможные случаи встречи двух тел в полете. Статья иллюстрирована графиками зависимости координат тел от времени, траекториями тел, построенными в электронных таблицах Excel.

В предыдущей статье, посвященной компьютерному моделированию движения тел, брошенных вертикально вверх, автор выдвигает тезис о том, что дать возможность учащемуся прочувствовать изучаемый процесс или явление, понять его неповерхностно, а во всей его полноте и глубине, на доступном школьнику уровне, может во – первых использование метода компьютерного моделирования изучаемого процесса, а во – вторых, некоторый необычный угол зрения на это явление или процесс.

В данной статье предлагается рассмотреть несколько более сложный вид свободного падения тела – движение тела, брошенного горизонтально. Этот вид движения является более сложным по сравнению с движением тела, брошенного вертикально, так как траекторией движения тела в данном случае является парабола, а непрямая линия как в предыдущем случае. Именно этот факт делает создание и изучение компьютерной модели движения такого движения более объемным, так как придется рассматривать как график, отражающий реальную траекторию тела, так и график зависимости координаты y тела от времени.

Однако, всему свое время. Давайте вспомним теорию, описывающую движение тела, брошенного горизонтально.

Для этого определимся с системой координат – начало координат разместим под точкой, откуда производится бросок тела. Горизонтальную ось x направим вправо, а вертикальную ось y вверх через начальное положение тела. Начальную скорость тела обозначим V0, высоту, с которой производится бросок – Н, скорость тела в произвольный момент времени t– обозначим V, проекцию скорости V на ось x– обозначим Vx, проекцию скорости V на ось y–обозначим Vy, максимальную дальность броска – Lmax, α – угол падения тела (угол между вектором скорости и вертикалью в точке падения).

Проекция скорости тела V на горизонтальную ось х в произвольный момент времени t:

Vx = V0

Проекция скорости тела V на вертикальную ось y в произвольный момент времени t:

Vy = -g*t

Модуль скорости Vв произвольный момент времени t:

Координатах тела в произвольный момент времени t:

x = V0 *t

Координата у тела в произвольный момент времени t:

y = H – (g*t2)/2

Угол падения α:

α= arctg (Vx/Vy)

Перейдем непосредственно к созданию компьютерной модели тела в электронных таблицах Excel.

Для компьютерного моделирования движения тела, брошенного горизонтально, как и в предыдущих семинарах будем использовать электронные таблицы Excel.

Параметрами, которые мы можем варьировать, это –высота Н над уровнем земли, с которой производится бросание тела, и начальная скорость движения тела V0.

Для начала создадим в электронных таблицах следующую структуру, представленную на рисунке.

Как видно, первую строку мы зарезервировали для времени t, которое изменяем с шагом 1 секунда. Во второй строке мы будем рассчитывать координату х тела, а в третьей строке – координату у тела. Ячейка В4 зарезервирована для значения скорости V0, а ячейка В5 – для значения высоты Н. Соответственно, числовое значение скорости будет указываться в системе СИ — м/с, а высоты – в метрах.

Зная, как рассчитать значение координаты х тела, введем в ячейку В2 следующую формулу: =$B$4*B1 и скопируем ее в ячейки С2, D2 и т.д.

Затем введем в ячейку В3 следующую формулу для расчета координаты y:

=$B$5 – 4,9*B1^2 и скопируем ее в ячейки C3, D3 и т.д.

В результате в режиме отображения формул получим следующий вид электронной таблицы, представленный на рисунке.


Итак, мы с вами создали самую простую модель тела, брошенного горизонтально. И, хотя ее можно использовать в нашей работе, но все – таки хотелось бы иметь более мощный инструмент, который может вычислять и скорость тела, и угол наклона его скорости к вертикали в любой момент времени, и значение максимальной дальности броска при заданном значении начальной скорости и высоты броска. Поэтому не будем останавливаться на достигнутом и доработаем нашу модель.

Для этого в 4-й строке электронной таблицы рассчитаем значение проекции скорости тела на ось х, введем в ячейку В4 формулу: =$B$13, ведь проекция скорости на ось х всегда равна начальной скорости тела, а затем скопируем ее вправо по 4-й строке в ячейки C4,D4,E4и т.д. Далее в 5-й строке рассчитаем проекцию скорости тела на ось у, введем в ячейку В5 формулу: =-9,8*B1, скопируем ее вправо в ячейки C5, D5, E5 и т.д. В 6-й строке рассчитаем модуль скорости тела, для этого в ячейку В6 введем формулу: =КОРЕНЬ(B4^2+B5^2)и скопируем ее вправо по строке в ячейки C6, D6, E6 и т.д. Ну, здесь все просто, зная две проекции вектора, найти его модуль сможет каждый.

Под конец займемся углом наклона вектора скорости к вертикале или, как мы выражаемся, по аналогии с лучом света, углом падения. Для начала рассчитаем этот угол в радианах в 7-й строке таблицы, для этого введем в ячейку В7следующую формулу: =ACOS(B5/B6). В данном случае можно было бы посчитать и arcsin α и arctg α, но мы выбрали из всего множества arccosα.

В8-й строке переведем угол падения из радиан в градусы для удобства понимания читателем. Для этого в ячейку В8 введем формулу: =180-B7*57,3.

Готовая модель представлена на рисунке, в ней все параметры рассчитаны для Vo = 50 м/с, Н = 200 м:


Вот компьютерная модель создана, перейдем к ее исследованию и, для этого, зададим учащимся первый каверзный вопрос: «От чего зависит время полета тела?

1.  От начальной скорости;

2.  От высоты броска;

3.  От начальной скорости и высоты броска одновременно».

Обратите внимание на тот факт, что в начале изучения темы мы не предлагали учащимся вывести формулу и определения времени полета тела. Это очень важно. Сейчас мы предлагаем им самостоятельно, путем проведения компьютерного эксперимента определить пока, что только какие величины являются аргументами функции «время полета тела». Если бы формула была выведена нами ранее на стадии теоретического изучения материала, то смысл данного этапа просто бы отпал.

Автору представляется очень важным предоставить учащимся возможность найти ответ на поставленный вопрос самостоятельно, это пробуждает в них исследователя, дает импульс к последующему творческому поиску, а не к механическому использованию полученных ранее знаний.

Перейдем к проведению компьютерного эксперимента. Определим сначала как зависит время полета от начальной скорости тела, для этого при фиксированной высоте броска будем менять начальную скорость и результаты представим в виде графиков зависимости координаты у тела от времени t.

ПриV0 = 10 м/с

ПриV0 = 30 м/с

ПриV0= 50 м/с

Обратите внимание, что график никак не зависит от изменения начальной скорости тела, делаем вывод о том, что время полета от начальной скорости не зависит.

Давайте исследуем зависимость полетного времени от высоты броска. Для этого при фиксированной начальной скорости тела будем менять высоту и строить графики зависимости координаты у от времени t.


ПриV0= 20 м/с, Н = 50 м, tпол~ 3 с.

ПриV0= 20 м/с, Н = 100 м, tпол~ 4,5 с.

ПриV0= 20 м/с, Н = 100 м, tпол~ 6,5 с.

В данном случае, на основании компьютерного эксперимента можем утверждать, что полетное время зависит от высоты броска, причем возрастает с увеличением высоты броска нелинейно.

А вот только теперь пришло время вывести формулу полетного времени тела, брошенного горизонтально. Сам вывод мы опускаем, так как это не входит в тематику данной статьи, но формулу напоминаем. Она имеет вид:


Данная формула полностью подтверждает результаты нашего компьютерного эксперимента.

Здесь уместно привести график зависимости полетного времени от высоты броска.

Второй каверзный вопрос, который мы можем поставить перед учащимися: «От каких параметров зависит максимальная дальность полета тела Lmax?

1.  От начальной скорости;

2.  От высоты броска;

3.  От начальной скорости и высоты броска одновременно».

Обратите внимание на то, что в данном случае, также как и в предыдущем, мы с учащимися не выводим формулу для расчета максимальной дальности полета тела заранее. На данном этапе мы предоставляем им возможность самим прийти к ответу на поставленный нами вопрос.

Во– первых, экспериментально установим зависимость Lmax от начальной скорости тела, брошенного горизонтально. Для этого, при фиксированном значении высоты броска Н, будем изменять значение начальной скорости и строить графики зависимости координаты у тела от координаты х, иными словами – траектории тела.


Н= 200 м, V0= 20 м/с, Lmax~130 м.

Н= 200 м, V0= 20 м/с, Lmax~255 м.

Н= 200 м, V0 = 20 м/с, Lmax ~ 380 м.

В результате проведенного компьютерного эксперимента можем сделать вывод о том, что максимальная дальность полета тела, брошенного горизонтально, зависит от начальной скорости этого тела, причем с увеличение начальной скорости максимальная дальность возрастает.

Теперь проверим, зависит ли максимальная дальность полета от высоты броска. Для этого при фиксированном значении начальной скорости будем менять значение высоты броска тела.

Н= 50 м, V0 = 60 м/с, Lmax ~ 190 м.

Н= 100 м, V0 = 60 м/с, Lmax ~ 270 м.


Н= 150 м, V0 = 60 м/с, Lmax ~ 330 м.

На основании результатов компьютерного эксперимента можем сделать вывод о том, что максимальная дальность полета тела, брошенного горизонтально, увеличивается с увеличением высоты броска тела.

Теперь пришло время привести формулу для расчета максимальной дальности полета тела, брошенного горизонтально:



Последнее, что надо нам сделать – рассчитать значение максимальной дальности полета, что мы выполняем в ячейке В15, вводя туда формулу: =$B$13*КОРЕНЬ(2*$B$14/9,8).

В конце первой части настоящей статьи хотелось бы привести графики зависимости максимальной дальности полета тела, брошенного горизонтально:

1.  От начальной скорости броска при фиксированной высоте броска (при Н = 30 м);

2. Отвысоты броска при фиксированной начальной скорости (V0 = 25 м/с);

Ну и, наконец, третий вопрос: «Может ли горизонтально брошенное тело падать на землю вертикально? Т.е. может ли α = 0? Докажите, используя компьютерную модель».

Ответ на поставленный вопрос на самом деле очень прост. Как мы говорили в начал данной статьи, скорость тела проецируется на оси х и у, причем проекция скорости на горизонтальную ось х постоянна и равна начальной скорости броска тела. Проекция скорости на вертикальную ось постоянно растет во времени.Следовательно, чем дольше летит тело, тем больше становится вертикальная составляющая скорости и тем меньше угол между вектором скорости и вертикалью, то он никогда не будет равен нулю, так как горизонтальная составляющая скорости неизменна.

Проиллюстрируем это таким примером: допустим тело брошено горизонтально с высоты 500 м и начальной скоростью 2 м/с. Ниже приведены графики зависимости координаты у этого тела от времени и зависимости угла падения α от времени.

Из первого графика ясно, что тело упадет на землю примерно через 10 секунд. Из второго графика следует, что в момент времени 10 секунд угол падения α равен примерно 1 градусу.


Давайте усложним рассматриваемый нами процесс и поставим перед учащимися задачу создать модель не одного тела, брошенного горизонтально, а двух, причем брошенных друг навстречу другу, да еще в общем случае с разными начальными скоростями и с разных высот.


Схема описываемой ситуации показана на рисунке. Кстати говоря, нам даже не придется делать заново компьютерную модель, ее надо будет только немного доработать следующим образом: вставим после 3-ей строки строки (4 – ю и 5 – ю), в которых будут рассчитываться координаты второго тела. Для этого в ячейку В4 введем формулу: =$B$21-$E$18*B1, а в ячейку В5 формулу: =$E$19-4,9*B1^2, которые скопируем вправо по соответствующим строкам.

Обратите внимание, что ячейки Е18 и Е19 зарезервированы соответственно для значений начальной скорости второго тела V02и высоты броска второго тела Н2, а ячейка В21 зарезервирована для значения расстояния между точками бросания двух тел L.

В таблице также появились соответствующие строки, в которых рассчитываются значения проекции скорости второго тела на ось х Vx2 в произвольный момент времени t, значения проекции скорости второго тела на ось y Vy2 в произвольный момент времени t, модуля скорости второго тела V2, а также угла падения второго тела α2. Наверное, нет смысла приводить формулы, по которым рассчитываются эти величины, так как они полностью аналогичны соответствующим формулам для первого тела.

Таким образом, в результате мы получаем следующую таблицу, показанную на рисунке.

Давайте поставим перед собой задачу проанализировать возможность встречи (столкновения)данных тел в полете при различных значениях их начальной скорости и высоты броска. Кстати говоря, такая постановка задачи порождает ряд дополнительных каверзных вопросов нашим учащимся.

Итак, четвертый вопрос: «если два тела брошены одновременно, горизонтально навстречу друг другу с одинаковых высот и с одинаковыми начальными скоростями, то столкнуться ли они в полете?».

Этот вопрос крайне прост только на первый взгляд, очевидно, из условия симметрии траекторий тел, что их столкновение произойдет в середине расстояния между точками бросков. А вот долетят ли тела до середины? Например, при начальной скорости 30 м/с, высоте броска 200 метров и расстоянии между точками бросков в500 метров не долетят, как видно из рисунка.


После падения на землю тела будут находиться на расстоянии примерно 120 метров друг от друга, что также следует из графика, представленного на рисунке.

А при начальной скорости 60 м/с, высоте броска 200 метров и расстоянии между точками бросков в 500 метров долетят, что видно из графика, представленного на рисунке.


А как графически определить в какой координате у они встретятся? Да очень просто.На графике зависимости y1от координаты x1в середине расстояния между точками бросков проведем вертикальную прямую линию до пересечения с графиком, затем найдем координату y1, соответствующую координате x середины расстояния. В данном случае, как видно из графика, тела столкнуться на высоте примерно 120 метров.

Рассмотрим следующий возможный вариант полета двух тел. В связи с этим формулируем пятый вопрос к учащимся: «если два тела брошены одновременно, горизонтально навстречу друг другу с одинаковых высот, но с различными начальными скоростями, то столкнуться ли они в полете?».

Очевидно, что этот вопрос сложнее предыдущего. Но мы не боимся трудностей и приступим к поиску ответа на него с изучения созданной нами модели с помощью построения и анализа следующих графиков:

1.  Зависимость координаты y1первого тела от времени t;

2.  Зависимости координаты y1первого тела от его координаты x1(траектория тела №1);

3.  Зависимость координаты y2первого тела от времени t;

4.  Зависимости координаты y2первого тела от его координаты x2(траектория тела № 2);

Первое, что можно сказать, это то, что в данном случае, как и в предыдущем, возможна ситуация, когда тела просто не долетят друг до друга. Например, это возможно при V01=20 м/с, H1=200 м, V02=  30м/с, H2=200 м, L= 500 м. Ниже представлены графики зависимости y1 и y2 от соответствующих им горизонтальных координат.

После падения на землю тела окажутся на расстоянии примерно в 160 метров друг от друга.

Как быть в ситуации, когда тела все – таки взаимно перелетают точку падения другого тела? Как определить, столкнуться они в полете или нет? Давайте возьмем некоторую конкретную ситуацию и всесторонне изучим ее. Например, исследуем следующие начальные условия: V01=60 м/с, H1=200 м, V02=40 м/с,H2=200 м, L=500м. В данной ситуации, как видно из нижеприведенных графиков, тела имеют шанс встретиться в полете.


А встретятся ли? Пока нам явно не хватает графической информации для ответа на этот вопрос. Но это не беда, построим следующие графики:

Это график зависимости y1и y2от времени. Они слились в один график, что очень красноречиво говорит о том, что два тела, брошенных одновременно с одинаковых высот, но с разными скоростями в любой момент времени будут находиться на одной высоте! Но, в таком случае, достаточно, чтобы у них совпали координаты х – и встреча состоится. А когда и где?

Ответит ьна этот вопрос, имея в руках компьютерную модель, очень просто. Для этого построим график зависимости координат х1 и х2 от времени на одной координатной плоскости.


Вот ответ и получен! Столкновение тел состоится на расстоянии примерно 300 метров от точки бросания первого тела через примерно 5 секунд после броска, а на какой высоте? Для этого воспользуемся графиком зависимости координат y1 и y2 от времени, какая координата у соответствует времени 5 секунд? Примерно — 75 метров.

Итак, сделаем вывод по рассмотренному случаю: «что два тела, брошенных одновременно с одинаковых высот, но с разными скоростями в любой момент времени будут находиться на одной высоте и обязательно встретятся в полете».

Нам осталось рассмотреть последнюю возможную ситуацию, когда два тела брошены горизонтально одновременно друг навстречу другу с разных высот и с разными начальными скоростями.

Традиционно, первый возможный вариант в рассматриваемой ситуации, когда начальные скорости тел слишком малы, и они просто не долетают друг до друга. Не смысла иллюстрировать этот вариант графиками, он и так подробно разобран нами ранее в настоящей статье.

Давайте подробно остановимся на варианте, когда тела имеют начальные скорости достаточные, чтобы взаимно перелететь точку падения другого тела. Вопрос, который мы адресуем учащимся (это уже шестой вопрос), естественно заключается в том, а могут ли такие тела встретиться в полете?

Если вы думаете, что на этот вопрос сложно ответить и придется проводить какой – то глубокий анализ нашей модели, то вы ошибаетесь. Мы построим только один график зависимости координат y1и y2от времени t для двух рассматриваемых нами тел и вам все станет ясно.

Для начальных условий V01= 60 м/с, H1= 200 м, V02=  40м/с, H2= 300 м, L= 400 м предложенный нами график будет иметь следующий вид:



Как следует из графика, разность координат y тел брошенных одновременно горизонтально с разных высот и разными начальными скоростями остается все время их полета постоянной и равной разности высот, с которых были произведены броски. В связи с этим, их встреча в полете невозможна.

Похожие статьи:

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, соскальзывающего с наклонной плоскости

ФизикаПовторение и обобщение знаний по теме «Давление». 7 класс.

ФизикаКомпьютерное моделирование неравномерного движения материальной точки по окружности

ФизикаПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Инерция» 7 класс

ФизикаКомпьютерное моделирование колебательного движения пружинного маятника в электронных таблицах

Похожие статьи:

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Инерция»   1.      Нечипоренко Нелли Васильевна 2.      МОБУ СОШ № 26  г. Таганрога Ростовской области 3.      Учитель физики 4.      Физика 5.      7 класс...
В данной статье подробно рассматривается технология создания и исследования компьютерной модели пружинного маятника в электронных таблицах Excel  ...
 В данной статье очень подробно рассматривается движение тела, брошенного под углом к горизонту, приводятся графики зависимостей основных параметров движения такого тела в различных ситуациях. Также предложен интересный вариант применения компьютерной модели...
 В данной статье подробно рассматривается движение тела (бруска), соскальзывающего с наклонной плоскости. Для этого создается компьютерная модель в электронных таблицах, в которой рассчитываются все параметры движения и строятся графики зависимости этих...
 Демонстрация работы по УМК нового поколения «Физика-7» под редакцией Л.Э.генденштейна. План урока соответствует структуре  учебника и задачника. Прилагается презентация, сопровождающая ход урока.
 В статье подробно рассматривается неравномерное движение материальной точки по окружности, рассчитываются все параметры, характеризующие данный вид механического движения, строятся графики зависимости параметров от времени. ...
Комментарии (0)