Сеть учителей и работников образования | Социальная сеть учителей
ГлавнаяСтатьиШколаФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, брошенного под углом к горизонту. Игра «сбей ракету».
 

Компьютерное моделирование движения тела, брошенного под углом к горизонту. Игра «сбей ракету».

2 авг 2013 в 11:15
Раздел: Физика
Рейтинг: +2
Голосов: 2

Просмотров: 13732
Поделиться:
Компьютерное моделирование движения тела, брошенного под углом к горизонту. Игра «сбей ракету».
2 авг 2013 в 11:15
Раздел: Физика
Рейтинг: +2
Голосов: 2

Просмотров: 13732
Поделиться:

 В данной статье очень подробно рассматривается движение тела, брошенного под углом к горизонту, приводятся графики зависимостей основных параметров движения такого тела в различных ситуациях. Также предложен интересный вариант применения компьютерной модели движения тел — игра «сбей ракету». В процессе игры учащийся более глубоко усваивает характер движения тела, брошенного под углом к горизонту и тела, брошенного горизонтально.

 

В предыдущих своих статьях авторрассмотрел более простые виды свободного падения тел, а именно:

1. Движениетела, брошенного вертикально вверх;

2. Движениетела, брошенного горизонтально;

В настоящей статье хотелось бырассмотреть и смоделировать наиболее сложный вид движения свободнопадающеготела – движение тела, брошенного под углом к горизонту. Данный вид движенияможно считать наиболее сложным из рассматриваемых, так как траектория тела –парабола и все физические величины, характеризующие это движение, кромеускорения, — изменяются во времени.

В первую очередь, давайте вспомнимтеорию, описывающую движение тела, брошенного под углом α к горизонту. Введемсистему отсчета, связанную с Землей, направим ось x вправо, а ось y вверх, тело в начальный моментвремени поместим в начало отсчета, придадим ему начальную скорость V0, направленную под углом α к положительномунаправлению оси x. Обозначим проекцию скорости тела на ось x в произвольный момент времени как Vx, проекцию скорости тела на ось y в произвольный момент времени – Vy.

Рис. 1. Схема движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Тогда проекцию начальной скорости V0 на ось x можно рассчитать по формуле:

V0x = V0cosα

Проекцию начальной скорости V0 на ось y можно рассчитать по формуле:

V0y = V0sinα

Координату x тела в момент времени t можно рассчитать по формуле:

x = V0cosαt

Координату y тела в момент времени t можно рассчитать по формуле:

y = V0sinαt – gt2/2

Проекцию скорости тела на ось x в момент времени t можно рассчитать по формуле:

Vx = V0cosα

Проекцию скорости тела на ось y в момент времени t можно рассчитать по формуле:

Vy = V0sinα– gt

Модуль скорости тела в момент времениt, зная значенияпроекций вектора скорости на оси координат, можно рассчитать по формуле:

Угол наклона вектора скорости тела коси xβ можнорассчитать по формуле:

β = arcos (Vx/V)

Теперь, после актуализации наших знанийпо кинематики тела, брошенного под углом к горизонту, приступим к созданиюсоответствующей модели в электронных таблицах Excel.

Для этого создадим следующуюструктуру в электронных таблицах, в которой будем рассчитывать значения всехпараметров движения тела, брошенного под углом к горизонту. В первой строкеэлектронной таблицы будем откладывать время полета тела, во второй строке будемрассчитывать значение координаты x тела, в третьей строке – координаты y тела, в четвертой строке – проекциивектора скорости тела на ось x, в пятой строке – проекции вектора скорости тела на ось y, в шестой строке – значение модуляскорости тела, в седьмой строке – значение угла между вектором скорости тела иосью x врадианах, в восьмой строке значение угла между вектором скорости тела и осью x в градусах. Зарезервируем ячейку В10для хранения значения модуля начальной скорости тела, а ячейку В11 для хранениязначения угла броска тела α.

В ячейки В2, В3 … В8 введем формулыдля расчёта соответствующих параметров, рассмотренные нами в начале статьи, ископируем их вправо по строкам, в результате чего в режиме отображения формулмы получим картину, изображенную на рисунке 2:

Рис. 2. Компьютерная модель движениятела, брошенного под углом к горизонту, в режиме отображения формул.

В обычном режиме отображения наша компьютерная модель длявыбранных произвольно значений начальной скорости и угла броска тела, равныхсоответственно 100 м/с и 70 градусов, как видно из рис. 2, будет выглядеть так, как показано на рисунке 3:

Рис. 3. Компьютерная модель движениятела, брошенного под углом к горизонту, в режиме отображения содержимого ячеек.

Следующим шагом хотелось бы представить полученные данные внаиболее понятном для учащегося – графическом виде. Для этого, используясозданную нами компьютерную модель, построим следующие графики:

Рис. 4. Траектория движения тела, брошенного под углом 70 градусов к горизонту с начальной скоростью 100 м/с, врассматриваемом интервале времени 14 секунд.

Как видно из графика, показанного на рисунке 3, в созданнойнами модели не хватает рассматриваемого промежутка времени для того, чтобы телодостигло поверхности земли. Давайте расширим промежуток времени до 20 секунд смомента броска тела. В этот интервал времени, как видно из графика на рисунке 5, тело успеет достичь земли.


Рис. 5. Траектория движения тела, брошенного под углом 70 градусов к горизонту с начальной скоростью 100 м/с, врассматриваемом интервале времени 20 секунд.

При анализе полученного нами графика, являющегося траекториейдвижения тела, можно получить примерные значения двух важных параметровдвижения тела, брошенного под углом к горизонту, а именно:

1.  Максимальной высоты подъема тела;

2.  Максимальной дальности полета тела;

Как видно изрисунка 4, максимальная высота подъема тела равна приблизительно 450 метров, амаксимальная дальность полета тела равна приблизительно 660 метрам. Давайтепроверим полученные данные расчетным путем. Как мы помним, максимальная высотаподъема тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле:

Подставляя в нее используемые намизначения начальной скорости и угла броска тела, получим, что максимальнаявысота полета тела составит 450,52 метра. Поразительная точность!

Проверим точность определениямаксимальной дальности полета тела. Напомним, что эта величина рассчитываетсяпо формуле:

Подставляя в нее используемые намизначения начальной скорости и угла броска тела, получим, что максимальнаядальность полета тела составит 655,9 метра. В данном случае ошибка составила0,62 %, что является вполне приемлемым для примерной оценки значения параметрапо графику.

Следующим шагом построим графикзависимости координаты тела y от времени полета t:

Рис. 6. График зависимости координатытела yотвремени t.

Анализируя данный график, можно примерно определить значениетакой величины, как полетное время тела, брошенного под углом к горизонту. Как видноиз рисунка 6, полетное время для тела, брошенного с начальной скоростью 100 м/си под углом 70 градусов к горизонту составляет примерно 19 секунд.

Давайте проверим полученный нами результат расчетом.Напомним, что полетное время тела, брошенного под углом к горизонту, определяется по формуле:

Подставляя наши значения для начальной скорости и угла броскатела, получим следующее значение для полетного времени: 19,18 с. Как видно изприведенного примера, анализ графиков, характеризующих движение тела, даеточень хорошие результаты в плане точности полученных величин.

Перейдем к рассмотрению зависимости скорости тела, брошенногопод углом к горизонту, от времени полета. Для этого построим следующие графики:


Рис. 7. График зависимости проекциивектора скорости тела на ось x, брошенного под углом к горизонту, от времени.

Рис. 8. График зависимости проекциивектора скорости тела на ось y, брошенного под углом к горизонту, от времени.

Рис. 9. График зависимости модуля скороститела, брошенного под углом к горизонту, от времени.

Самым интересным, с точки зрения автора, является график, представленный на рисунке 9. Из него можно сделать два очень важных вывода:

1.  Минимальную по модулю скорость тело, брошенное под углом к горизонту, имеет в своей наивысшей точке полета;

2.  Максимальную по модулю скорость тело, брошенное под углом к горизонту, имеет в два момента времени: в момент броска ив момент падения на землю. Причем в эти моменты времени модули скоростей равныдруг другу.

Перейдем крассмотрению зависимости угла наклона вектора скорости тела, брошенного подуглом к горизонту, к оси x. Для этого построим следующий график:

Рис. 10. График зависимости угланаклона вектора скорости тела к оси x.

Анализируяполученный график, можем сделать следующие выводы:

1.  В наивысшей точке подъема тела, брошенного под углом к горизонту, вектор скорости тела горизонтален;

2.  Углы между вектором скорости тела иосью x вначальный момент времени и в момент падения на землю равны по модулю и противоположныпо знаку;

Такимобразом, мы рассмотрели довольно подробно кинематику тела, брошенного под угломк горизонту, изучая зависимости различных параметров движения такого тела отвремени. В продолжении этой темы, хотелось бы рассмотреть такую задачу: если мыбудем бросать некоторое тело с постоянной скоростью, но под различными углами кгоризонту, то при каком угле броска может быть получена наибольшая дальностьполета?

Совершенноочевидно, что при броске тела под углами 0 и 90 градусов, будет получена нулеваядальность полета, следовательно, искомое нами значение лежит где-то между 0 и90 градусами. Решать эту задачу можно двумя способами:

1.  Графическим, т.е. построениемтраекторий движения для тел с одинаковой начальной скоростью и различнымиуглами броска;

2.  Аналитическим, т.е. путем поискамаксимума функции зависимости максимальной дальности полета от угла броска;

Рассмотримдля начала первый способ решения поставленной перед нами задачи. Для этогопостроим на одной координатной плоскости траектории тел, брошенных с одинаковойначальной скоростью, но под разными углами. Возьмём, например, начальнуюскорость 100 м/с и следующие углы броска: 15, 30, 45, 60, 75 градусов. Построимдля них графики траектории тел, брошенных под указанными углами к горизонту.

Рис. 11. Траектория тела, брошенногос начальной скоростью 100 м/с и под углом 15 градусов к горизонту.

Рис. 12. Траектория тела, брошенногос начальной скоростью 100 м/с и под углом 30 градусов к горизонту.

Рис. 13. Траектория тела, брошенногос начальной скоростью 100 м/с и под углом 45 градусов к горизонту.

Рис. 14. Траектория тела, брошенногос начальной скоростью 100 м/с и под углом 60 градусов к горизонту.

Рис. 15. Траектория тела, брошенногос начальной скоростью 100 м/с и под углом 75 градусов к горизонту.

Анализируяприведенные выше графики, можно прийти к выводу, что максимальная дальностьполета для тела, брошенного под углом к горизонту при фиксированной начальнойскорости, достигается при угле броска в 45 градусов. В нашем случае этадальность составит примерно 1030 метров. Также можно отметить, что, если мыбудем бросать тело под углами 30 и 60 градусов соответственно, то максимальныедальности полета таких тел одинаковы.

Сформулируемправило, которое вытекает из только что обнаруженной нами закономерности:

Если бросить одно телопод углом к горизонту, равным (45 + x), а второе тело под углом, равным(45 – x), то максимальные дальности полета этих тел будут одинаковы.Причем x должно удовлетворять условию:

.

Во второй части статьипредлагается рассмотреть более сложную и интересную ситуацию: допустим, у насесть два тела, первое бросаем с земли под углом к горизонту α, а второе – снекоторой высоты H горизонтально, так, как показано на рисунке 15. Можем данную ситуацию рассматривать как игру«сбей ракету», где второе тело это некоторая ракета, а первое – снаряд, которыйдолжен в нее попасть.

Рис. 16. Сбей ракету.

Вопрос: в каком случаеони могут встретиться в полете?

Естественно, задачу можно решить обычным аналитическим способом составляя систему уравнений, но мы попробуем проанализировать характер их взаимного движения с помощьюследующей компьютерной модели:

Рис. 17. Компьютерная модель для игры«сбей ракету».

В первуюочередь построим графики зависимости координат y от времени для первого и второготел.

Рис. 18. График зависимости координатy от времени для первого и второго тел.

Какой выводможно сделать из графика, показанного на рисунке 18? Вывод следующий –координаты y двухтел будут равны в момент времени примерно 3,2 с. Что это значит? Встретятся литела в полете в этот момент времени? Необязательно, только в том случае, если икоординаты x дляэтих двух тел будут равны в тот же момент.

Проверимпоследнее условие, построим графики зависимости координат x для двух тел от времени.

Рис. 18. График зависимости координатx от времени для первого и второго тел.

Из графика, приведенного на рисунке 18, видно, что координаты x равны только в начальный моментвремени, но никак не в момент времени 3,2 секунды. Более того, очевидно, чтопервое тело с течением времени опережает второе по оси x. Таким образом, встреча тел в полетедля выбранных нами произвольным образом начальных условий невозможна.

Что жеделать? Как нам сбить эту злосчастную ракету?

И опять жеответ на поверхности – надо обеспечить постоянное равенство координат x для ракеты и снаряда. Для этогонужно, чтобы проекции скоростей обеих тел на ось x были равны, т.е.:

V01 cosα= V02

Инымисловами, мы пришли к тому, чтобы сбить ракету надо знать ее начальную скорость V02. А зная начальную скорость, мы можемзапустить снаряд с такой начальной скоростью V01 и под таким углом α, лишь бывыполнялось указанное выше условие. Множество решений для данного уравнениябесконечно, так что надо фиксировать какой-либо параметр.

Исходя изтого, что первое тело это снаряд, который вылетает из пушки, а пушки обычномогут стрелять с какой-то определенной начальной скоростью, котораяопределяется характеристиками снаряда, то будем начальные фиксировать скоростиракеты и снаряда, а по ним рассчитывать угол стрельбы α по формуле:

α = arccos (V02/ V01 )

Введемсоответствующую формулу в ячейку В19 нашей компьютерной модели, в ячейке В20пересчитаем полученный нами угол стрельбы в градусы для лучшего понимания и, врежиме отображения формул, получим следующую картину:

Рис. 19. Переработанная компьютернаямодель «сбей ракету» в режиме отображения формул.

А в обычномрежиме модель выглядит так:

Рис. 20. Переработанная компьютернаямодель «сбей ракету» в обычном режиме.

Оказывается, надо было стрелять под углом 72, 55 градуса! Теперь, для проверки правильностинаших расчетов, построим еще раз графики зависимости координат x для двух рассматриваемых нами тел отвремени.

Рис. 21. Графики зависимостикоординат x отвремени для ракеты и снаряда.

Вот то, кчему мы стремились – их координаты x одинаковы в любой момент времени. В таком случае, равенствоих координат по оси y дастнам гарантированную встречу в полете. Строим соответствующие графики:

Рис. 22. Графики зависимостикоординат y для ракетыи снаряда.

Теперь –все, результат достигнут – ракета сбита на высоте примерно 260 метров через 3,1секунды после пуска.

Последнее, что хотелось бы предложить сделать – это поэкспериментировать с начальнойскоростью ракеты, давайте увеличим ее до 40 м/с и посмотрим, как изменитьсяугол стрельбы у пушки. Угол уменьшился, теперь он равен 66,43 градуса, а когдаже ракета будет сбита?

Рис. 23. Графики зависимостикоординат y дляракеты и снаряда для начальной скорости ракеты 40 м/с.

Как видно изграфика на рисунке 23, ракета будет сбита несколько позже – примерно через 3,5секунды.

Характерпроисходящего понятен: чем выше начальная скорость ракеты, тем под меньшимуглом к горизонту приходится стрелять пушки, чтобы обеспечить равную ракетегоризонтальную составляющую скорости. А как вы думаете, какова предельнаямаксимальная начальная скорость ракеты, при которой наша пушка, стреляющая сначальной скоростью 100 м/с сможет ее сбить?

Ответ наэтот непростой вопрос виден на рисунках 24 и 25:

Рис. 24. Графики зависимостикоординат yдляракеты и снаряда для начальной скорости ракеты 92 м/с.

Рис. 25. Графики зависимостикоординат yдляракеты и снаряда для начальной скорости ракеты 93 м/с.

Приначальной скорости ракеты в 92 м/с наша пушка еще справляется с ней в последниймомент (рис. 24), но при скорости в 93 м/с – уже не успевает (рис. 25).

Вот с такимувлекательным военным приключением удалось нам встретиться при рассмотрениикомпьютерного моделирования движения тела, брошенного под углом к горизонту, итела, брошенного горизонтально. 


Маркушевич Михаил Владимирович

заместитель директора по информационным технологиям ГБОУ СОШ № 766

Похожие статьи:

ФизикаИнтегрированный урок

ФизикаПовторение и обобщение знаний по теме «Давление». 7 класс.

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, соскальзывающего с наклонной плоскости

ФизикаКомпьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах

ФизикаПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Инерция» 7 класс

Похожие статьи:

 Демонстрация работы по УМК нового поколения «Физика-7» под редакцией Л.Э.генденштейна. План урока соответствует структуре  учебника и задачника. Прилагается презентация, сопровождающая ход урока.
  ...
по физике, географии, биологии
 В данной статье подробно рассматривается движение тела (бруска), соскальзывающего с наклонной плоскости. Для этого создается компьютерная модель в электронных таблицах, в которой рассчитываются все параметры движения и строятся графики зависимости этих...
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Инерция»   1.      Нечипоренко Нелли Васильевна 2.      МОБУ СОШ № 26  г. Таганрога Ростовской области 3.      Учитель физики 4.      Физика 5.      7 класс...
...
Комментарии (1)