Сеть учителей и работников образования | Социальная сеть учителей
ГлавнаяСтатьиШколаФизикаКомпьютерное моделирование колебательного движения математического маятника
 

Компьютерное моделирование колебательного движения математического маятника

29 авг 2013 в 13:56
Раздел: Физика
Рейтинг: +1
Голосов: 1

Просмотров: 5531
Поделиться:
Компьютерное моделирование колебательного движения математического маятника
29 авг 2013 в 13:56
Раздел: Физика
Рейтинг: +1
Голосов: 1

Просмотров: 5531
Поделиться:

В данной статье детально разбирается последовательность действий по созданию компьютерной модели математического маятника. Далее производится исследование созданной модели с целью построения зависимостей различных величин, характеризующих колебательной движение грузика маятника, от времени.

Приступим ксозданию компьютерной модели математического маятника. В качестве средымоделирования выберем электронные таблицы Excelкак наиболее доступное и хорошознакомое большинству пользователей программное обеспечение.

Первым шагомв первой строке электронной таблицы отложим время t, в течении которого будетразворачиваться процесс колебаний. Выберем шаг времени – 0,1 секунды.

Сразуоговорим, что в верхней части создаваемой нами структуры мы будем рассчитыватьпараметры колебательного движения, которые переменны во времени, а в нижнейчасти – неизменные во времени параметры.

Рис. 1. Математический маятник.

Тогда, послеорганизации течения времени нашего процесса, сместимся ниже, и в ячейке В24зададим значение массы маятника, например m = 0,2 кг. В ячейке В25 зададимзначение амплитуды колебаний маятника, соблюдая существенное условие –амплитуда колебаний должна быть значительно меньше длины маятника L. Выберем значение амплитуды – 0,04метра при длине маятника равной 0,6 метра, которую укажем в ячейке В26. Далее, в ячейке В27 укажем значение ускорения свободного падения g, которое примем равным 9,8 м/с2.

Отметим тотфакт, что ускорение свободного падения на Земле различное на разных широтах, так что наша модель чувствительна и к месту проведения виртуальногоэксперимента.

Рассчитаемзначение периода колебаний математического маятника по формуле , для этого введем в ячейку В28 следующуюформулу: =2*3,14*КОРЕНЬ(B26/B27), в результате расчета получаем значение в этойячейке равное 1,55 секунды.

В ячейке В29рассчитаем значение частоты колебаний для выбранного нами математическогомаятника, для этого в указанную ячейку введем формулу: =1/B28 и получимрезультат 0,64 Гц.

В ячейку В30рассчитаем значение круговой частоты колебаний, для этого введем в указаннуюячейку формулу: =2*3,14/B28 и получим результат 4,04 с -1.

Ячейку В31зарезервируем для хранения значения сдвига фазы ϕ, пока введем значение сдвигафазы равное 0.

Вернемся кверхней части таблицы и во второй строке рассчитаем координату колеблющегосятела x, для этого в ячейку В2 введем формулу: =$B$25*SIN($B$30*B2+$B$31) и скопируем ее вправо построке. Построим график зависимости координаты x колеблющегося тела от времени.

Рис. 2. График зависимости координатыxколеблющегося тела от времени.

В третьей строкерассчитаем значение проекции линейной скорости колеблющегося тела на ось xvx, для этого в ячейку В3 введемформулу: =$B$25*$B$30*COS($B$30*B2+$B$31) и скопируем ее вправо по третьейстроке. Построим график зависимости проекции скорости тела на ось x.

Рис. 3. График зависимости проекциискорости тела на ось x.

В четвертойстроке рассчитаем значение модуля проекции скорости тела на ось x, для этого в ячейку В5 введемформулу: =ABS(B4) и скопируем ее вправо по пятой строке. Построим графикзависимости модуля проекции скорости тела на ось x от времени.

Рис. 4. График зависимости модуляпроекции скорости тела на ось x от времени.

Обратите вниманиена дефект построения графика, показанного на рисунке 3. Он обусловлен большимшагом времени, выбранным нами. Для большей точности построения графиканеобходимо выбрать меньший шаг изменения времени, например: 0,025 или 0,02секунды.

В шестой строкерассчитаем значения угловой скорости колеблющегося тела, для этого в ячейку В6введем формулу: =B4/$B$26и скопируем ее вправо по шестой строке. Построим график зависимости угловойскорости тела от времени. Угловую скорость обозначим как β для того, что непутать ее с обозначение круговой частоты колебаний тела.

Рис. 5. График зависимости угловойскорости тела от времени.

В седьмойстроке рассчитаем значение проекции ускорения тела на ось x, для этого в ячейку В7 введемформулу: =-$B$25*$B$30^2*SIN($B$30*B2+$B$31) и скопируем ее вправо по строке.Построим график зависимости проекции ускорения тела на ось x.

Рис. 6. График зависимости проекцииускорения тела на ось x от времени.

Так кактраекторией движения колеблющегося тела является дуга окружности, мы можемрассматривать колебательное движение как разновидность неравномерного движениятела по окружности. Ускорение такого тела имеет две составляющие –тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая направлена по линии, соединяющей материальную точку и центр окружности, а тангенциальная –перпендикулярно ей, как показано на рисунке 6.

Рис. 7. Нормальное и тангенциальноеускорение материальной точки, двигающейся по окружности.

В восьмойстроке рассчитаем тангенциальное ускорение, для этого в ячейку В8 введемформулу: =-$B$27*B3/$B$26 и скопируем ее вправо по восьмой строке, а в девятойстроке рассчитаем значение нормального ускорения. Для этого в ячейку В9 введемформулу: =B4^2/$B$26 и скопируем ее вправо по девятой строке. Построим графикизависимости нормального и тангенциального ускорений тела от времени на однойкоординатной плоскости.

Рис. 8. Графики зависимостинормального и тангенциального ускорений тела от времени.

Как видно изграфика, показанного на рисунке 8, во-первых значения тангенциального ускоренияколеблющегося тела значительно превосходят значения нормального, во-вторых вмомент, когда тангенциальное ускорение достигает максимального значения, нормальное равно нулю (когда тело находится в крайних точках колебания), инаоборот, когда нормальное ускорение достигает максимума, тангенциальное –равно нулю (положение равновесия маятника).

Знаятангенциальное и нормальное ускорение, мы можем найти модуль полного ускорениятела по формуле:

<img src="«file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png»" v:shapes="_x0000_i1025" style="" height="«26»" width="«98»">

Рассчитаемзначения модуля полного ускорения тела в десятой строке таблицы, для этого вячейку В10 введем формулу: =-КОРЕНЬ(B8^2+B9^2) и скопируем ее вправо по десятойстроке. Построим графики полного ускорения тела и проекции этого ускорения наось xнаодной координатной плоскости.

Рис. 9. Графики зависимости полногоускорения тела и проекции этого ускорения на ось x от времени.

Как видно изграфиков, показанных на рисунке 9, значения модуля полного ускорения тела ипроекции ускорения на ось xв положительной области оси ординат практически полностьюсовпадают. Это происходит потому, что, как мы выяснили ранее, тангенциальноеускорение значительно превосходит по значению нормальное, а именнотангенциальное ускорение образуем малый угол с осью xпри малых колебаниях тела.

Водиннадцатой строке таблицы рассчитаем значение модуля результирующей всех сил, действующих на грузик математического маятника, для этого в ячейку В11 введемформулу: =B10*$B$24 ископируем ее вправо по строке. Построим график зависимости результирующей силот времени.

Рис. 10. График зависимостирезультирующей сил, действующих на грузик.

Вдвенадцатой строке рассчитаем значение угла отклонения нити грузика отвертикали α в различные моменты времени. Для этого в ячейку В12 введем формулу:=ASIN(B3/$B$26) и скопируем ее вправо по строке. Построим график зависимостиугла α от времени.

Рис. 11. График зависимости угла α отвремени.

Для удобствапонимания в тринадцатой строке переведем значения угла α в градусы и построимграфик зависимости угла α, выраженного в градусах, от времени.

Рис. 12. График зависимости угла α, выраженного в градусах, от времени.

Как видно изграфика, показанного на рисунке 12, амплитуда колебаний угла отклонения грузикамаятника от вертикали составляет примерно 4 градуса.

Вчетырнадцатой строке рассчитаем значения силы натяжения нити маятника Т, дляэтого в ячейку В14 введем формулу: =$B$24*(B9+$B$27*COS(B12)) и скопируем еевправо по строке. Построим график зависимости силы натяжения Т от времени.

Рис. 13. График зависимости силынатяжения Т от времени.

Из графика, показанного на рисунке 13, видно, что максимальное значение силы натяжениядостигается в моменты прохождения грузиком положения равновесия и это значениеравно примерно 1,969 Н. Минимальное значение силы натяжения достигается придостижении грузиком точек максимального отклонения от положения равновесия иравно это значение примерно 1,956 Н. Таким образом, амплитуда колебаний силынатяжения нити составляет всего 0,0065 Н.

Следующимшагом в пятнадцатой строке рассчитаем кинетическую энергию грузика маятника.Для этого в ячейку В15 введем формулу: =$B$24*B4^2/2 и скопируем ее вправо построке. Построим график зависимости кинетической энергии грузика от времени.

Рис. 14. График зависимостикинетической энергии грузика от времени.

Как видно изрисунка 14, максимальное значение в 0,0027 Дж кинетическая энергия достигает вмомент прохождения грузиком положения равновесия. Минимальное нулевое значениекинетическая энергия достигает в моменты максимального отклонения от положенияравновесия.

Следующимшагом в шестнадцатой строке рассчитаем значения потенциальной энергии грузикамаятника, принимая за нулевой уровень энергии координату yгрузика в момент прохождения имположения равновесия. Для этого в ячейку В16 введем формулу: =$B$24*$B$27*$B$26*(1-COS(B12))и скопируем ее вправо по строке. Построим график зависимости потенциальнойэнергии грузика от времени.

Рис. 15. График зависимостипотенциальной энергии грузика от времени.

Всемнадцатой строке оценим полную механическую энергию грузика, которая равна суммекинетической и потенциальной энергий. Для этого в ячейку В17 введем формулу: =B15+B16и скопируем ее вправо по строке. На одной координатной плоскости построим триграфика:

1.  График зависимости кинетическойэнергии грузика от времени;

2.  График зависимости потенциальнойэнергии грузика от времени;

3.  График зависимости полноймеханической энергии грузика от времени;

Рис. 16. Графики зависимостикинетической, потенциальной и полной механической энергии грузика от времени.

График, показанный на рисунке 16, прекрасно иллюстрирует закон сохранения энергии вприменении к математическому маятнику. Полная механическая энергия грузика влюбой момент времени постоянная, так как в математический маятник – замкнутаясистема, из нее энергия не вытекает и не втекает в нее.

В конце статьи приведем созданную нами компьютерную модель математического маятника в режиме отображения формул:

Рис. 17. Законченная компьютерная модель математического маятника.


Маркушевич Михаил Владимирович, учитель информатики ГБОУ СОШ № 766

Агаджанян Каринэ Кургеновна, учитель физики ГБОУ СОШ № 766

Похожие статьи:

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, соскальзывающего с наклонной плоскости

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, брошенного под углом к горизонту. Игра «сбей ракету».

ФизикаКомпьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тел, брошенных вертикально вверх, в электронных таблицах. Не очевидное в очевидном.

ФизикаКомпьютерное моделирование неравномерного движения материальной точки по окружности

Похожие статьи:

В данной статье подробно рассматривается технология создания и исследования компьютерной модели пружинного маятника в электронных таблицах Excel  ...
 В статье подробно рассматривается неравномерное движение материальной точки по окружности, рассчитываются все параметры, характеризующие данный вид механического движения, строятся графики зависимости параметров от времени. ...
  ...
 В данной статье подробно рассматривается движение тела (бруска), соскальзывающего с наклонной плоскости. Для этого создается компьютерная модель в электронных таблицах, в которой рассчитываются все параметры движения и строятся графики зависимости этих...
В настоящей статье рассматривается компьютерное моделирование движения тела, брошенного вертикально вверх, в электронных таблицах. Кроме того автор предлагает некоторые способы повышения мотивации учащихся при проведении уроков по теме "Кинематика" с...
 В данной статье очень подробно рассматривается движение тела, брошенного под углом к горизонту, приводятся графики зависимостей основных параметров движения такого тела в различных ситуациях. Также предложен интересный вариант применения компьютерной модели...
Комментарии (0)