Сеть учителей и работников образования | Социальная сеть учителей
ГлавнаяСтатьиШколаФизикаКомпьютерное моделирование неравномерного движения материальной точки по окружности
 

Компьютерное моделирование неравномерного движения материальной точки по окружности

12 авг 2013 в 15:46
Раздел: Физика
Рейтинг: +1
Голосов: 1

Просмотров: 6626
Поделиться:
Компьютерное моделирование неравномерного движения материальной точки по окружности
12 авг 2013 в 15:46
Раздел: Физика
Рейтинг: +1
Голосов: 1

Просмотров: 6626
Поделиться:

 В статье подробно рассматривается неравномерное движение материальной точки по окружности, рассчитываются все параметры, характеризующие данный вид механического движения, строятся графики зависимости параметров от времени.

 В настоящей статье предлагается подробно изучить неравномерное движение материальной точки по окружности, используя метод компьютерного моделирования, предоставляющий широкие возможности для визуального (графического) представления зависимостей различных параметров, характеризующих данный вид движения, от времени.

Для начала выберем некоторую конкретную практическую задачу, для которой мы постараемся построить компьютерную модель. Такой задачей может быть следующая: рассмотрим невесомый неподвижный блок радиусом R, через который перекинут также невесомый и нерастяжимый бесконечный трос, к концам последнего прикреплены грузы массами соответственно m1 и m2. На ободе блока находится материальная точка А. Требуется детально описать ее движение.

Рис. 1. Постановка задачи.

В первую очередь определим ускорение грузов а, для этого выпишем уравнение для второго закона Ньютона в проекции на ось y. Предположим, что m1 < m2, следовательно, ускорение первого груза направленно вверх, а второго – вниз. Тогда:

m1a = T — m1g (1)

— m2a = T – m2g (2)

Вычитая из(1) (2), получаем: m1a + m2a = m2g — m1g, откуда:

 (3)

Теперь мы знаем значение модуля ускорения грузов, с таким же тангенциальным ускорением будут двигаться точки на ободе неподвижного блока.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная(или тангенциальная)составляющая ускорения, которая определяется по формуле:


Рис. 2. Тангенциальное и нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности.

Теперь, зная значение тангенциального ускорения точки А на ободе блока, мы можем вычислить значение углового ускорения этой точки.

Введем понятие углового ускорения. В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения – угловое ускорение:

Как связны между собой тангенциальное и угловое ускорение материальной точки?

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость по формуле ύ = ώR. Нормальное ускорение связано с угловой скоростью по формуле an = ώ2R и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение выражается через угловое ускорение следующим образом:



Зная значение углового ускорения точки А обода блока, мы можем рассчитать значение угла поворота блока и угловой скорости блока ω в любой момент времени t по следующим формулам:

Но не будем забывать, что материальная точка, движущаяся по окружности радиусом R, как равномерно, так и неравномерно, имеет еще и нормальную составляющую ускорения an, определяемую по формуле:

В свою очередь, модуль полного ускорения точки А на ободе блока можно рассчитать по формуле:


Приступим непосредственно к созданию компьютерной модели движения точки А, для этого на листе электронных таблиц Excel верхние строки зарезервируем для расчета тех величин, которые будут меняться в процессе вращения блока, а нижние – для постоянных величин.

Первую строку отведем для времени процесса t, вторую – для расчета угловой скорости ω точки А, третью – для расчета модуля линейной скорости v точки А, четвертую – для расчета угла поворота ϕ точки А, пятую – для расчета модуля нормального ускорения, пятую – для расчета полного ускорения а.

В ячейки В17и В18 соответственно поместим значения масс грузов m1 и m2, в ячейке В19 рассчитаем значение по формуле (3), в ячейкеВ20 зададим значение радиуса блока R, в ячейке В21 рассчитаем значение углового ускорения β по формуле: =B19/B20, в ячейках В22 и В23 соответственно укажем значение для начального угла поворота блока ϕ0 и начальной угловой скорости ω0, в нашем случае они равны нулю.

С учетом подробно разобранной теории в начале статьи, ограничимся демонстрацией готовой компьютерной модели в режиме отображения формул на рисунке 3:

Рис. 3. Первая стадия создания компьютерной модели.

Построим графики зависимости всех рассчитанных нами величин, характеризующих движение точки А на ободе блока, от времени:


Рис. 4. График зависимости угловой скорости точки А от времени.


Рис. 5. График зависимости модуля линейной скорости точки А от времени.


Рис. 6. График зависимости угла поворота точки А от времени.


Рис. 8. График зависимости модуля полного ускорения точки А от времени.

Обратите внимание, на то, что при анализе графика, представленного на рисунке 8, видно, какое чудовищное полное ускорение будет у точки А через 14 секунд после начала процесса движения грузов. Оно достигнет значения примерно в 9g! И это при разности масс грузов только в 10%.

Продолжим изучение выбранного нами объекта.

Было бы интересно рассчитать, сколько оборотов сделает блок в некоторый момент времени t. Опираясь на уже полученные нами данные, это несложно сделать. Угол поворота блока выражен в радианах, т. е. 6,28 радиан – это полный поворот блока. Тогда количество оборотов блока n можно рассчитать по формуле:

Добавим в нашу модель седьмую строку, в которой будем рассчитывать количество оборотов блока n.

Далее, существует такая характеристика движения материальной точки по окружности, как частота вращения γ, которая показывает, сколько оборотов совершает материальная точка за одну секунду и вычисляется по формуле:


Эта величина хорошо подходит для характеристики равномерного движения по окружности, а как быть в нашем случае, когда движение не равномерное?

Введем аналогичную величину – мгновенную частоту вращения, которая будет показывать, сколько оборотов сделает блок при данной угловой скорости ω, если считать угловую скорость постоянной.

В седьмой строке нашей электронной таблицы рассчитаем значения мгновенной частоты вращения блока в разные моменты времени, для этого в ячейку В7 введем формулу: =B2/(2*3,14)и скопируем ее вправо по строке.

Построим график зависимости мгновенной частоты вращения от времени:

Рис. 9. График зависимости мгновенной частоты вращения от времени.

Существует еще одна важная характеристика движения по окружности – период вращения Т. Период вращения – это время, в течении которого материальная точка совершает один полный оборот. Период вращения рассчитывается по формуле:


Так же, как и в случае с частотой вращения, эта характеристика более применима к равномерному движению по окружности. Введем понятие мгновенного периода вращения, который будет показывать время полного оборота материальной точки приданной неизменной угловой скорости.

В восьмой строке электронной таблицы рассчитаем значения мгновенного периода вращения для нашего блока в различные моменты времени, для этого в ячейку В8 введем следующую формулу: =(2*3,14)/B2 и скопируем ее вправо по строке.

Построим график зависимости мгновенного периода вращения от времени:


Рис. 10. График зависимости мгновенного периода вращения от времени.

И так, мы закончили расчет основных характеристик движения точки А, находящейся на ободе блока, показанного на рисунке 1.

Теперь хотелось бы рассмотреть то же движение, но в другой системе координат – в линейной системе координат с осями x и y.

В первую очередь необходимо рассчитать сами координаты точки А по осям x и y. Они будут определяться по формулам:

x = Rsinϕ

y = Rcosϕ

Тогда в девятой и десятой строках таблицы рассчитаем координаты x и y точки А соответственно и построим графики их зависимости от времени.

На данный момент наша компьютерная модель в режиме отображения формул имеет следующий вид:

Рис. 11. Вторая стадия создания компьютерной модели.

Немного отвлечемся от основной темы данной статьи и рассмотрим недостаток используемого нами программного инструмента – электронных таблиц Excel. Его можно проиллюстрировать на примере построения графиков зависимости координат x и y точки А по созданной нами компьютерной модели. При построении этих графиков мы получим следующее:

Рис. 12. График зависимости координаты x точки А от времени.


Рис. 13. График зависимости координаты y точки А от времени.

Как видно из графиков, приведенных на рисунках 12 и 13, при существующем шаге времени в 1секунду Excel не может справиться с построением адекватного графика исследуемых нами функций. Что же делать в данной ситуации?

Необходимо уменьшить шаг времени и увеличить количество рассчитываемых моментов времени, тогда точность построения графиков возрастет. Уменьшим шаг времени до 0,2секунды и изменим рассматриваемый нами интервал времени до 4-х секунд.Результат показан на рисунках 14 и 15.

Рис. 14. График зависимости координаты x точки А от времени с уменьшенным шагом времени 0,2 с.


Рис. 15. График зависимости координаты y точки А от времени с уменьшенным шагом времени 0,2 с.

Следующим шагом рассмотрим зависимость проекций вектора скорости точки А на оси x и y. Данные проекции рассчитываются по формулам:

Vx = Vcosϕ

Vy = Vsinϕ

В одиннадцатой и двенадцатой строках электронной таблицы рассчитаем значения проекций вектора скорости точки А и построим соответствующие графики, показанные на рисунках 16 и 17:

Рис. 16. График зависимости проекции вектора скорости точки А на ось x.


Рис. 17. График зависимости проекции вектора скорости точки А на ось у.

Аналогично можно построить графики зависимости проекций на оси x и y векторов нормального и тангенциального ускорений точки А. Их можно рассчитать по следующим формулам:

anx= ansinϕ

any= ancosϕ

aτx= aτcosϕ

aτy= aτsinϕ

Рис. 18. График зависимости проекции вектора нормального ускорения точки А на ось x от времени.


Рис. 19. График зависимости проекции вектора нормального ускорения точки А на ось y от времени.


Рис. 20. График зависимости проекции вектора тангенциального ускорения точки А на ось x от времени.


Рис. 21. График зависимости проекции вектора тангенциального ускорения точки А на ось y от времени.

Более сложной задачей является построение графиков зависимости проекций вектора полного ускорения точки А оси x и y. Как видно из рисунка 2, вектор полного ускорения в общем случае не параллелен и не перпендикулярен прямой, проходящей через точку А и центр окружности, он направлен к этой прямой под некоторый углом β. Для решения поставленной задачи необходимо рассчитывать угол наклона вектора полного ускорения к прямой ОА β, вычитать или складывать этот угол с углом ϕ наклона прямой ОА к оси y, получая в результате угол наклона α вектора полного ускорения к оси x. И только после вычисления угла αможно рассчитать значения проекций вектора полного ускорения на оси координат.

Рис. 22. Определение угла наклона вектора полного ускорения точки А.

Решением данной задачи мы и займемся в финальной части статьи.

Как видно из рисунка 21, все рассматриваемые нами углы задействованы в треугольнике ОАВ, можно записать сумму углов для данного треугольника:

(90 – ϕ) + β+ α = 180

α + β – ϕ =90

С другой стороны угол β = arcctg (an/ aτ).

Тогда интересующий нас угол α можно рассчитать по формуле:

α = π/2 + ϕ — arcctg (an/aτ)

В семнадцатой строке нашей компьютерной модели рассчитаем угол β, а в восемнадцатой – угол α, для этого в ячейку В17 введем формулу: =ATAN($B$24/B5), а в ячейку В18 введем формулу: =1,57+B4-B17 и скопируем их вправо по соответствующим строкам.

Построим графики зависимости углов β и α от времени.


Рис. 23. График зависимости угла β отвремени.

Как видно из графика, показанного на рисунке 22, угол β постоянной убывает со временем, так как растет нормальная составляющая ускорения и вектор полного ускорения разворачивается к прямой ОА. К моменту времени 4 секунды угол β составляет уже примерно 0,07 радиан или 4 градуса.


Рис. 24. График зависимости угла α от времени.

Теперь, зная угол α, можно найти проекции полного ускорения точки А на оси координат. Их можно рассчитать по формулам:

ax= acosα

ay= asinα

В девятнадцатой строке рассчитаем значение ax, а в двадцатой — ay. Построим графики зависимостей проекций полного ускорения точки А на оси координат.


Рис. 25. График зависимости проекции вектора полного ускорения точки А на ось x.


Рис. 26. График зависимости проекции вектора полного ускорения точки А на ось y.


Маркушевич Михаил Владимирович

заместитель директора по информационным технологиям ГБОУ СОШ № 766

Похожие статьи:

ФизикаКомпьютерное моделирование колебательного движения пружинного маятника в электронных таблицах

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, соскальзывающего с наклонной плоскости

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тел, брошенных вертикально вверх, в электронных таблицах. Не очевидное в очевидном.

ФизикаКомпьютерное моделирование движения двух тел, брошенных горизонтально навстречу друг другу, в электронных таблицах

ФизикаКомпьютерное моделирование движения тела, брошенного под углом к горизонту. Игра «сбей ракету».

Похожие статьи:

В данной статье детально разбирается последовательность действий по созданию компьютерной модели математического маятника. Далее производится исследование созданной модели с целью построения зависимостей различных величин, характеризующих колебательной движение...
В данной статье подробно рассматривается технология создания и исследования компьютерной модели пружинного маятника в электронных таблицах Excel  ...
В настоящей статье рассматривается компьютерное моделирование движения тела, брошенного вертикально вверх, в электронных таблицах. Кроме того автор предлагает некоторые способы повышения мотивации учащихся при проведении уроков по теме "Кинематика" с...
 В данной статье очень подробно рассматривается движение тела, брошенного под углом к горизонту, приводятся графики зависимостей основных параметров движения такого тела в различных ситуациях. Также предложен интересный вариант применения компьютерной модели...
 В данной статье подробно рассматривается движение тела (бруска), соскальзывающего с наклонной плоскости. Для этого создается компьютерная модель в электронных таблицах, в которой рассчитываются все параметры движения и строятся графики зависимости этих...
  ...
Комментарии (0)